Официальный сайт кафедры ФН7 Электротехника и промышленная электроника

Электрические цепи переменного тока

2-10.Р. Ток в цепи рис. 2.10 изменяется по закону i = Im sin ωt. Какое из. приведенных выражений несправедливо, если UL > UC.

Решение 2-10. Так как UL > Uc , то XL > XC. В этом случае на­пряжение, приложенное к цепи, опережает по фазе ток i на угол φ.

Если ток в цепи изменяется по закону i = Im sin ωt. то u = Um sin (ω t +φ).

Напряжение на активном сопротивлении совладает по фазе с током:

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90°:

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90 0.

2-18. Р. Определить активное, индуктивное и полное сопротивления катушки из медного провода электромагнитного устройства (реле, электромагнита и т.п.) рис. 2.18, а при притянутом (l =0) и непритянутом (l ) якоре. Дано l =: 140 мм, l2=60 мм, S = 4 см2, эквивалентный воздушный промежуток прл непритянутом якоре = 12 мм, = 800, средняя длина витка катушки =120 мм, сечение провода катушки Snp=0,6 мм2, f=50 Гц. Кривая намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода В( Н) изображена на рис. 2.18, 6. Потоками рассеяния и выпучивания пренебречь. Предполагается работа на линейном участке кривой намагничивания. Указать неправильный ответ. При l0 = О. 1. r=2,8 Ом. 2. xL=200 Ом. 3. x=200 Ом. При = 12 мм: 4. =8 Ом. 5. z=10,8 Ом.

Решение 2-18. 1. Активное сопротивление катушки (оно не зависит от значения воздушного зазора)

2. Индуктивность и индуктивное сопротивление катушки при l 0 =0

3. Полное сопротивление катушки при l 0 =0

4. Индуктивность и индуктивное сопротивление катушки при l = 12 мм

При B = 1 Тл получим 12*10 -3 /(1.256*10 -6 ) + 20*20= I *800;

L= ψ/I = B*SCT *ω/I = 0.0255 Гн .
xL =2π*f*L = 8 Ом.
5. Полное сопротивление катушки при l 0 =12 мм

6. Отношение полных сопротивлений катушки при l=0 и l 0 =12 мм

С учетом потоков рассеяния и выпучивания индуктивное сопро­тивление катушки будет несколько больше.

2-25.Р. Определить индуктивность L катушки, используя результаты двух опытов: а) когда катушка включена в сеть переменного тока с напряжением U =200 В и частотой f =50 Гц, ток в катушке I =4 A ; б) когда катушка включена в сеть постоянного тока с напряжением ( U =200 В), ток в катушке I =5 A. Указать правильный ответ.

1. 0,2 Гн. 2. 0,4 Гн. 3. 1 Гн. 4. 0,1 Гн. 5. 0,8 Гн.

Решение 2-25. Полное сопротивление катушки определяется по показаниям приборов при включенной катушке в сеть переменного тока:

z = U / I =200/4 = 50 Ом.

Активное сопротивление катушки определяется по показаниям при­боров при включенной катушке в сеть постоянного тока:

r = U / I = 200/5 = 40 Ом.

Индуктивное сопротивление катушки.

следовательно, индуктивность L = x /(2π* f ) = 30/(2*3,14*50) ≈ 0,1 Гн.

2-31.Р. В электрической цепи рис. 2.31 I=5 А, f=50 Гц, U1 =50 В, U 2 =100В, U 3 =60 В. Какие будут напряжения, если при том же токе 5 А частота возрастает до 100 Гц? Указать неправильный ответ.

1. U 1 =50 В. 2. U 2 =200 В. 3. U 3 =30 В. 4. U =280 В.

Решение 2-31. Увеличение частоты в 2 раза приведет к увели­чению в 2 раза индуктивного сопротивления и уменьшению в 2 раза емкостного сопротивления, так как xL = 2 π * f * L. xC = 1/2 π * f * C

Активное сопротивление практически не изменится.

При частоте f=100 Гц напряжения на отдельных участках цепи составят:

на активном сопротивлении

U 1 = Ir = 5.50/5 = 50 В;

на индуктивном сопротивлении U 1 = I *2 xL = 5*2*100/5= 200 В. где xL — индуктивное сопротивление при f = 50 Гц; на емкостном c опротивлении

U 3 = 12 хс /2 = (5-60/5)/2 = 30 В,
где хс— емкостное сопротивление при f=50 Гц.
Напряжение сети

2-40.Р. Характер нагрузки какой из цепей рис. 2.40 указан непра­вильно, если xC = xL = r.

1. Активно-индуктивный. 2. Активно-емкостный. 3. Активный. 4. Ак­тивно-емкостный. 5. Активно-индуктивный.

Решение 2-40. Характер нагрузки в данном случае наиболее просто определяется из соотношения индуктивной и емкостной реак­тивных мощностей цепи.

Следовательно, характер нагрузки активно-индуктивный.

2-42 Р Катушка, обладающая активным сопротивлением r =30 Ом и индуктивным x L = 40 Ом, подключена к сети переменного тока с на­пряжением U =100 В. Определить действующее значение ЭДС самоин­дукции Е, возникающей в катушке. Указать правильный ответ.

1. 100 В. 2. 40 В. 3. 80 В. 4. 90 В. 5. 10 В.

Решение 2-42. Электродвижущая сила самоиндукции в катуш­ке по модулю равна напряжению на индуктивном сопротивлении │E│=│UL │. Ток в цепи

ЭДС индуктивной катушки │ E │=│ UL │=│ I * xL │=2*40=80 В.

2-51.Р. Определить показания приборов цепи рис. 2.51. Указать не­правильный ответ.

1. I =10 А. 2. U 2 =200 В. 3. Р =1000 Вт. 4. U1 =100 В.

Решение 2-51. Сопротивление z АБ участка цепи аб можно оп­ределить с использованием проводимостей.

Сопротивление z АБАБ =1/ b АБ = -20 Ом. Знак минус указывает на емкостный характер сопротивления. Ток цепи

Показание вольтметра V 1

Показание ваттметра равно активной мощности части цепи, распо­ложенной справа за точками в и г: Р = I 2 r =10 2 *10= 1000 Вт.

2-59. Как изменятся показания приборов цепи рис. 2.59 при вве дении в катушку ферромагнитного стержня, если до и после введения XC > XL ? Потерями мощности в стержне пренебречь. Указать неправильн ый ответ.

1. UL увеличится. 2. Ur уменьшится. 3. P уменьшится. 4. I 1 уменьшится.

Решение 2-59. При введении внутрь катушки ферромагнитно­го стержня увеличатся индуктивность и, следовательно, индуктивное сопротивление катушки. Проводимость участка цепи между точками а и б при этом уменьшается, что следует из выражения ba6 = l / XL — 1/Х C.

Сопротивление Z аб = хаб =1/ ba6 возрастает. Увеличится также сопротивление всей цепи

на угол φ, значение которого опре­деляется из выражения

При перемещении движка рео­стата влево его сопротивление rP уменьшается, ток I 2 увеличивается, cos φ уменьшается, угол φ увеличи­вается. Векторная диаграмма для двух положений движка реостата, которым соответствуют сопротив­ления r ’ р > r ’’ P. приведена на рис. 13.2.69. Диаграмма строится на осно­вании уравнения

Треугольники напряжений вгб’ и вгб" прямоугольные. Геометри­ческим местом начал векторов I 2 xL. является окружность, диаметр ко­торой равен длине вектора U. а центр находится в точке а.

По второму закону Кирхгофа (см. рис. 2.69) можно написать

По условию задачи и полученным результатам можно построить векторную диаграмму (рис. 13.2.75), на основании которой легко полу­чить следующее выражение мгновенного значения тока:

2.82. P. Как следует выразить комплексные токи İ1 İ2 и напряже­ния Ů и Ů L цепи рис. 2.82, если İ3 = I 3 e j 0 и xL > xC. Указать неправиль­ный ответ.

1. u = Um sin ( ωt + 60 0 ). i = Im sin ( ωt )

2. u = Um sin ( ωt + 120 0 ). i = Im sin ( ωt )

4. Ė = Ee j20. İ=Ie j60

5. Ů = Ue j20. İ = Ie j180

Решение 2-82. Для решения задачи необ­ходимо изобразить комплексную плоскость и на­нести на ней векторы, соответствующие комплек­сам искомых

Вектор тока İ3 должен сов­падать с осью действительных величин по усло­вию задачи (рис. 13.2.82).

Так как xL > xC, вектор напряжения Ů опережает по фазе ток İ3 на 90° и, следовательно, будет совпадать с осью мнимых величин.

Ток İ2 отстает от напряжения Ů L на угол φ, а ток İ1 совпадает по фазе с напряжением.

H апряжение Ů L опережает ток İ 2 на 90°. На основании полученного распо­ложения векторов можно написать

2-98.Р. На рис. 2.98 изображены участки пяти сложных электриче­ских цепей, напряжения, ЭДС и токи в которых

4) Ė= Ее j20. İ=Ie j60 .

5) Ů = Ue j20. İ=Ie j180.

Определить, в каком режиме по активной мощности работают предполагаемые источники и приемники энергии. Указать неправиль­ный ответ.

1. Источника. 2. Приемника. 3. Приемника. 4. Источника. 5.Приемника.

Решение 2-98. Показанные на­правления тока и напряжения или то­ка и ЭДС говорят о том, что в случаях 1. 2 и 4 предполагаются источники, а в 3 и 5 —приемники энергии. Действительный режим работы в каждом из случаев может быть выявлен или с помощью графика мгновенной мощности, вектор­ной диаграммы или выражения актив­ной мощности. Для случая 1 на рис. 13.2.98,а изображены графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности. Из графика следует, что сред­няя активная мощность положительная. Из векторной диаграммы (рис. 13.2.98, б) следует, что вектор Ia. представляющий собой проекцию вектора тока на вектор напряжения, совпадает по направлению с вектором напряжения, т. е. составляющая тока, обусловливающая активную мощность, положительна. Угол между напряжением и током φ= 60—0=60°. Активная мощность Р = UI cos φ = UI cos 60° положительна, так как cos 60 0 положительный.

Все три способа доказывают, что в первом случае предполагаемый источник работает в режиме генератора, так как развиваемая им мощ­ность положительная, т. е. генератор отдает энергию в остальную, не указанную на рис. 2.98 часть цепи.

Для случая 2 на рис. 13.2.98, в изображены графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности. Активная мощность имеет от­рицательное значение. Из рис. 13.2.98, г следует, что активная состав­ляющая тока I а не совпадает с направлением вектора напряжения.

Из выражения активной мощности следует, что в данном случае

Р = UI cos φ = UI cos 120°

имеет отрицательное значение, так как cos 120 0 отрицательный. Таким образом, оказалось, что активная мощность предполагаемого источни­ка во втором случае имеет отрицательное значение, а это означает, что этот источник работает в режиме потребителя. Для определения режимов работы в остальных случаях можно ограничиться одним способом .А ктивная мощность в третьем случае
Р = El cos φ= El cos (30 ± 20°)

положительная. следовательно, в данном случае предполагаемый при­емник работает в режиме потребителя,

Активная мощность в случае 4 может быть определена из выра­жения

S = EI* = Ее j20 ° Ie — j60 ° = Eie -j40 ° = El cos (- 40°) — jEI sin (- 40°) = P + jQ.

Активная мощность оказалась положительной. Следовательно

предполагаемый источник в случае 4 работает в режиме источника. Активная мощность в случае 5

S = U I * = Ue j 120 ° Ie — j 180 °= UIe — j 160 ° = UI cos (- 160° )— jUI sin (-160°) = — P + jQ ;
имеет отрицательное значение. Следовательно, предполагаемый прием­ник в случае 5 в действительности работает в режиме источника.

2 -103Р. Как изменятся показания приборов при увеличении рас­стояния между двумя индуктивно-связанными и включенными встреч­но катушками (рис. 2.103)? Указать правильный ответ.

1. I увеличится. 2. U 2 увеличится. 3. U 1 не изменится. 4. Р уменьшится.

Решение 2-103. Эквивалентная индуктивность включенных встречно катушек выражается следующим образом:

При увеличении расстояния между катушками магнитная связь между ними и, следовательно, коэффициент связи к уменьшаются. В результате увеличиваются эквивалентные индуктивность и индуктивное сопротивление:

Ток в цепи и напряжение на активном сопротивлении при этом уменьшаются, так как

Из уравнения Ů = Ů L + Ů r = Ů1 + Ů2 следует, что с уменьшением напряжения U 2 при неизменном U напря­жение U 1 будет увеличиваться. Показание ваттметра, измеряющего ак­тивную мощность, уменьшится, так как Р = I 2 r .

2-106.Р. В результате проведения двух опытов определено индук­тивное сопротивление цепи, состоящей из двух индуктивно-связанных катушек. Оказалось, что при согласном включении xC =400 Ом, при встречном xB =200 Ом. Определить взаимную индуктивность M, если ω=500 рад/с. Указать правильный ответ.

1. 0,2 Гн. 2. 2 Гн. 3. 0,1 Гн. 4. 1 Гн.

Вычитая из первого выражения второе, получаем xC — х B = 4хм , откуда

Из выражения xM = ω M следует М = хм / ω = 50/500 =0,1 Гн.

2-109.Р. Определить индуктивное сопротивление цепи рис. 2.109, обусловленное взаимной индуктивностью, а также напряжения U 1. U 2 и ток I, если U=180 В, x 1 =5 Ом, x 2 =20 Ом, коэффициент связи k=0,8, r 1 =r2 =0. Указать неправильный ответ.

Решение 2-109. Эквивалентная индуктивность цепи равна

Умножив левую и правую части на ω, получим

Эквивалентное индуктивное сопротивление цепи равно

Индуктивное сопротивление, обусловленное взаимной индукцией:

Эквивалентные сопротивления катушек равны

Ток в цепи равен I = U / хЭКВ = 180/9 = 20 A .
Напряжения U 1 и U 2

U 1 = İ j хЭКВ1 = 20 j ( -3) =- j 60 ; U 1 = 60 B ; U 2 = İ j хЭКВ2 = 20* j *12 = j 240 ; U 2 = 240 B.

-124-Р. В каком из графиков рис. 2.124, б для цепи рис. 2.124, а

Решение 2-124. Индуктивное сопротивление изменяется прямо пропорционально частоте: xL =2 πfL . При f=0 xL =0, при f→∞ xL →∞. График зависимости xL (f) представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Емкостное сопротивление изменяется обратно пропорционально ча­стоте: xc = 1/2 πfC . При f =0 хс = ∞ , при f →∞ х0 →0. График зависи­мости x C ( f ) представляет собой гиперболу.

Полное сопротивление цепи равно

При f = 0 z = ∞, так как xC = ∞, при f = fР. z = r , так как xl = xC, при f →∞ z →∞, так как xL →∞ . График зависимости z ( f ) имеет вид, изображен­ный на рис.2.124 б.

Ток в цепи I = U / z .При f = 0. I = 0. при f →∞. I →0. при f = fP ток имеет максимальное значение I = U / r. Напряжение равно

При f=0 UL = 0. при f →∞ UL → U . Максимальное значение на­пряжения UL будет при частоте несколько больше, чем f р. Это легко обнаружить, если взять производную dUL / df и приравнять ее нулю, выразив предварительно xl и xC через частоту.

2-139.Р. Какова зависимость полных сопротивлений всей цепи z рис. 2.139 и участка аб ( z АБ ) от частоты, если r 1 = r. Указать правиль­ный график.

2.Определим сопротивление всей цепи z. При f =0 z = r + r 1. При f = fp z = r + r аб = r + ( r 2 1 + x 2 L ) / r 1 .При f →∞ z → r.

2-146.Р. При резонансе токов в цепи рис. 2.146 I1 =10 A. I 2 =5 A. xc =40 Ом. Определить индуктивное сопротивление xL . Указать пра­вильный ответ.

1. 40 Ом. 2. 20 Ом. 3. 10 Ом. 4. 80 Ом.